Документы в США

Паспорт Вам будет нужен только для заграничных поездок. Внутри США - при наличии легального статуса, конечно - у Вас будет грин-карта и права.

Но этот вопрос - последний, о котором Вам стоит беспокоиться. Волнуйтесь лучше о том, как Вы будете сидеть в тюрьме до решения дела (под залог сейчас не выпускают) и о том, достаточно ли у Вас доказательств для убежища.

Это касается только refugee, но не к asylee.