Как платить налоги нелегальному мигранту?

Вы получите выигрыш за вычетом налогов.

Так и я о том же. Но выходит, что необходимо иметь номер для уплаты налогов.

И здесь возникает вопрос: будет ли это (уплата налогов) играть роль при дальнейшей легализации?

Неуплата точно будет играть роль. Негативную.

номер - не вопрос. ITIN выдают автоматически если вы зафайлите 1040-NR и W-7.
Никто там статусом иммиграционным интересоваться не будет. В форме даже вопроса такого нет.