дата рождения отличается в разных документах

Всем доброе время суток, в паспорте и свидетельстве о рождении мамы даты рождения отличаются. все документы совпадают с датой паспорта кроме свидетельства о рождении. Она родилась в одной республике СССР, а сейчас проживает в другой и соответственно и гражданство Украинское.

Как быть с датой при заполнении анкеты?

Паспорт это мусор! Их может быть несколько одновременно и в течение жизни! Пишите только из СОР

Паспортов может быть несколько, но данные должны же совпадать. Паспорт получают на основании данных которые указаны в св-ве о рождении, а св-во о рождении получают на основании справки из роддома. То что все остальные доки совпадают с паспортом это понятно, так как все на основании паспорта выдают. Нужно было менять паспорт как обнаружилась ошибка. Анкета же принимается на основании паспортных данных. Разве нет? Если анкета выиграет, то будут проблемы скорей всего?!

В анкете фигурирует номер действующего паспорта! После подачи паспорт нужно исправлять.

А разве свидетельство о рождении надо потом где-то предъявлять в случае выигрыша?

Еще как да. Оно подтверждает место рождения и то, что вы участвуете от страны рождения* (* или в оговариваемых случаях от страны рождения супруга(и)), уроженцы которой допущены правилами текущей лотереи к участию.
https://travel.state.gov/content/travel/en/us-visas/immigrate/diversity-visa-program-entry/diversity-visa-if-you-are-selected/diversity-visa-prepare-supporting-documents.html
If You Are Selected

Each applicant must submit a birth certificate issued by the official custodian of birth records in the country of birth, showing the date and place of birth and the parentage of the applicant, based upon the original registration of birth.

И предоставить копию старого паспорта, где будет видна другая дата рождения.