Тысяча и одна … не ночь, вопроса… 
Копейки, если не брать штаты, взимающие ежегодный налог независимо от результатов деятельности. Вместе с адресом и услугами секретарской компании это может быть 100-200 долларов в год или, как уже Вам сказали, вообще ничего, если есть друг/знакомый, который предоставит адрес и будет зарегистрированным агентом.
Обязана ли она иметь счет в банке и нести издержки на обслуживание банковского счета или нет?
Нет, но, как уже Вам сказали, многие банки не берут деньги за ведение бизнес-счетов.
(и если делать LLC, то лучше Multi-Member LLC или Single-Member LLC, или лучше вообще не LLC делать).
Single-Member LLC в случае с неамериканским участником представляется мне странной идеей, в этом случае я бы однозначно предпочел Corp. Multi-Member LLC или Corp - дело тонкое, есть свои “за” и “против”. Пока Вы “в стадии переезда” мне больше нравится Corp, когда “переедете” - LLC. Но это не догма.
Еще один вопрос, при наличии компании в ЕС: в США лучше делать дочернюю компанию этой европейской компании или в США лучше создать отдельное юрлицо(владелец(или владельцы) будут те же). Это как-то может затем повлиять на возможность получения той же L1?
Надо сразу (до регистрации американской компании) продумывать “дорожную карту” от начала до конца, а то потом будет мучительно больно.
Ну, т.е. на 1 взгляд кажется, что лучше делать дочернюю компанию и потом relocate из европейской компании в (ее дочернюю) американскую; но мало ли, может если владелец, что там, что там – тот же, то как бы уже по этому принципу признается их взаимосвязь и наличие интереса для деятельности в США как руководителя(владельца, топ-менеджера) этих компаний.
Невозможно ответить, не зная Вашей общей картины, целей, задач, бюджета и т.д.
Вы уверены, что обслуживание бесплатное? Нужно наверное еще оплачивать предоставления юрадреса для компании? И сдачу отчетов в налоговую службу (даже если у компании нет оборотов; т.е. оплачивать бухгалтерскую услугу)? А если еще счет в банк иметь обязательно(?), то могут быть затраты и на обслуживание пустого банковского счета?
Про адрес, секретарское обслуживание и банковский счет уже ответил. Пустой годовой отчет в налоговую будет стоить, я думаю, меньше 100 долларов.
Что если что – не получится свои права защитить, и компанию в США, и ее активы (домены, сайты, может даже патенты(если они будут) и пр.) отберут просто и все.
Это как? Понятно, что интеллектуальную собственность воруют везде. Но здесь если ребенок классе в шестом школы взял цитату или фотографию из интернета и не указал источник, ему, как минимум, снизят оценку. Домен заберут только если Вы за него платить перестанете, патент можно украсть, но не отобрать, сайт…ну, в общем, это какие-то детские страшилки…
И есть опасение, что юридические услуги в США для защиты своих прав (на интеллектуальную собственность) стоит очень дорого, и может не найтись таких денег, чтобы нормально свои права защищать (особенно в случае если в такой момент окажется, что сам еще находишься не в США), но возможно есть в США какие-то общественны организации, которые в таких случаях помогают, если что?
Юридические услуги в США дорогие, а общественные организации обычно помогают малоимущим американцам, а не иностранным бизнесменам. Надо предусматривать меры защиты интеллектуальной собственности, например заблаговременное заявление приоритета (есть механизмы сделать это даже до официальной подачи заявки на патент).
Что касается виз, то дальше будет видно. Так как это может быть и не L1, конечно. Но при наличий компании(компаний) может лучше делать L1, чем O1 или H1B. На O1 тоже может достаточно оснований найтись, дело не в визах.
Если есть основания на О1, делайте сразу ЕВ1А. Это несопоставимо дешевле, чем L1A и потом EB1C.
А с Европы я начал в том числе потому, что Европа ближе; и мне кажется, что возможностей поэтому защищать свои права и сотрудничать больше, легче и проще. Был бы я в США, то сначала компанию в США бы создал и попробовал бы сначала с американскими компаниями работать.
Спорное утверждение, хотя я и не специалист по защите интеллектуальной собственности. Я бы посмотрел на это иначе - выход на любой рынок стоит денег. Если конечная цель - американский, то затраты на “промежуточное” вхождение на рынок ЕС могут быть излишними.